Question

1．已知函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$，x∈[2，6]
（1）求证：函数f（x）是区间[2，6]上的减函数；
（2）求函数f（x）在区间[2，6]内的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据定义法，证明函数的单调性即可；
（2）根据函数在区间[2，6]上是减函数，故最大值在左端点取到，最小值在右端点取到，求出两个端点的值即可．

解答 （1）证明：设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数y=$\frac{2}{x-1}$是区间[2，6]上的减函数；
（2）解：由（1）得：
函数y=$\frac{2}{x-1}$在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即当x=2时，y_max=2；
当x=6时，y_min=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查函数的单调性，用单调性求最值是单调性的最重要的应用．