Question

20．设函数f（x）=（x²-2ax）lnx+bx²，a，b∈R．
（1）当a=1，b=-1时，设g（x）=（x-1）²lnx+x，求证：对任意的x＞1，g（x）-f（x）＞x²+x+e-e²；
（2）当b=2时，若对任意x∈[1，+∞），不等式2f（x）＞3x²+a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）g（x）-f（x）＞x²+x+e-e^x等价于e^x+lnx-e＞0，令h（x）=e^x+lnx-e，则$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x}＞0$，可知函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，即可证明结论；
（2）不等式2f（x）＞3x²+a等价于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0，构造函数，先求出a的范围，再验证即可．

解答 （1）证明：当a=1，b=-1时，f（x）=（x²-2x）lnx-x²，
所以g（x）-f（x）＞x²+x+e-e^x等价于e^x+lnx-e＞0，
令h（x）=e^x+lnx-e，则$h'（x）={e^x}+\frac{1}{x}＞0$，可知函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）＞h（1），即e^x+lnx＞e，亦即e^x+lnx-e＞0；
（2）解：当b=2时，f（x）=（x²-2ax） lnx+2x²，a∈R，
所以不等式2f（x）＞3x²+a等价于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0，
令p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
则p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0在[1，+∞）上恒成立，所以p（1）=1-a＞0，所以a＜1，
又p（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1），
显然当a＜1时，p（x）＞0，则函数p（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以p（x）_min=p（1）=1-a＞0，所以a＜1，
综上可知a的取值范围为（-∞，1）．

点评 本题考查了导数知识的综合运用，考查函数的最值的问题，以及参数的取值范围，属于中档题．