Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{4}$），点A（x₀，y₀）为椭圆C上的点，且以A为圆心的圆过椭圆C的右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）记M（0，y₁）、N（0，y₂）是圆A上的两点，若|FM|•|FN|＞p恒成立，求实数p的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率，以及椭圆过点（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{4}$），
列方程组求出a²、b²，写出椭圆方程；
（Ⅱ）由椭圆C的方程和圆A的方程，求出y₀、x₀的关系以及x₀的取值范围，
代入并计算|FM|•|FN|的取值范围，根据|FM|•|FN|＞p恒成立求出实数p的最大值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，
且椭圆过点（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{4}$），
∴$\frac{1}{{4a}^{2}}$+$\frac{7}{{8b}^{2}}$=1②；
又a²=b²+c²③，
由①②③组成方程组，解得a²=2，b²=1；
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）由椭圆的方程知，焦点F（1，0），
又圆A的方程为${（x{-x}_{0}）}^{2}$+${（y{-y}_{0}）}^{2}$=${{（x}_{0}-1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$；
令x=0，得y²-2y₀y+2x₀-1=0，
∴y₁+y₂=2y₀，y₁•y₂=2x₀-1，
且△=4${{y}_{0}}^{2}$-4（2x₀-1）＞0，
${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$，
解得-2-2$\sqrt{2}$＜x₀＜-2+2$\sqrt{2}$；
又点A在椭圆C上，∴-$\sqrt{2}$≤x₀≤$\sqrt{2}$，
综上，-$\sqrt{2}$≤x₀＜-2+2$\sqrt{2}$；
∴|FM|•|FN|=$\sqrt{{{y}_{1}}^{2}+1}$•$\sqrt{{{y}_{2}}^{2}+1}$
=$\sqrt{{{{（y}_{1}y}_{2}）}^{2}+{{（y}_{1}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}）+1}$
=$\sqrt{{（{2x}_{0}-1）}^{2}+{{4y}_{0}}^{2}-2（{2x}_{0}-1）+1}$
=$\sqrt{{{2x}_{0}}^{2}-{8x}_{0}+8}$
=$\sqrt{2}$（2-x₀），
∴|FM|•|FN|∈（4$\sqrt{2}$-4，2+2$\sqrt{2}$]；
由|FM|•|FN|＞p恒成立，
∴实数p的最大值为4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了圆锥曲线方程的应用问题，也考查了方程与不等式的应用问题，是综合题．