Question

17．若以曲线y=f（x）上任意一点M₁（x₁，y₁）为切点作切线l₁，曲线上总存在异于M的点N（x₂，y₂），以点N为切点做切线l₂，且l₁∥l₂，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x³-x²+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的横坐标满足${x_1}+{x_2}=\frac{2}{3}$；④要使得分段函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}（x＞m）\\{e^x}-1（x＜0）\end{array}\right.$的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．
以上四个命题真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分别求出函数导数，根据导数的几何意义求出对应的切线斜率，结合曲线y=f（x）具有“可平行性”，即可得到结论．

解答 解：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符号题意．
②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．
③三次函数f（x）=x³-x²+ax+b，则f′（x）=3x²-2x+a，方程3x²-2x+a-m=0在判别式△=（-2）²-12（a-m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；
④函数y=e^x-1（x＜0），y′=e^x∈（0，1），函数y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
则由1-$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），得$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），
∴x＞1，则m=1．
故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．
∴正确的命题是②④．
故选：B．

点评 本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想，是中档题．