Question

【题目】在如图所示的六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是梯形，，平面平面ABEF，BE＝2AF=2，EF.

（1）在图中作出平面ABCD与平面DEF的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；

（2）求证：平面DEF；

（3）求平面ABEF与平面ECD所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）延长BA与EF相交于点P,连接PD，则直线PD就是平面ABCD与平面DEF的交线;

（2）证明四边形ACDP是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得平面DEF；

（3）在平面ABEF内，过点A作FE的平行线交BE于点G，可得为直角三角形，

在平面ABEF内，过点A作AB的垂线交EF于点H，可得面ABCD，以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AH的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可得平面ABEF与平面ECD所成锐二面角的余弦值.

解：（1）延长BA与EF相交于点P,连接PD，则直线PD就是平面ABCD与平面DEF的交线;

（2）因为，所以AF是的中位线，故，

因为，所以，且，

所以四边形ACDP是平行四边形，所以，

因为面DEF，面DEF，

所以平面DEF

（3）在平面ABEF内，过点A作FE的平行线交BE于点G，又，所以四边形AGEF为平行四边形，

所以，

又因为，所以，

所以为直角三角形，

且

在平面ABEF内，过点A作AB的垂线交EF于点H，

又因为平面平面ABEF，平面平面，

所以面ABCD.

以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AH的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，所以，

设是平面ECD的法向量，

则，即，所以可取.

因为是平面ABEF的法向量，

所以，

所以平面ABEF与平面ECD所成锐二面角的余弦值.