题目内容
【题目】已知过椭圆
的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形
（
是第一象限内的点）的面积为
，且过椭圆
的右焦点
的倾斜角为
的直线过点．
（1）求椭圆的标准方程
（2）若射线
与椭圆的交点分别为
．当它们的斜率之积为
时，试问
的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．
【答案】（1）
；（2）
的面积为定值
．
【解析】
（1）根据矩形面积、直线
斜率和椭圆
关系可构造方程组求得，进而得到椭圆标准方程；
（2）当直线
斜率存在时，设方程为
，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得
，点到直线公式求得点
到直线距离
，进而表示出
；根据
，代入韦达定理形式化简可得
，代入中化简得到
；当直线斜率不存在时，可求得
两点坐标，进而求得；综合两种情况可知为定值.
（1）由题意得：
，
，
，
.
直线的斜率
，
，
由
得：
，
椭圆
的标准方程为.
（2）的面积为定值，理由如下：
设
，
，
①当直线斜率存在时，设方程为.
由
得：
，
则
，即
，
，
，
，
又点到直线的距离
，
.
，
，
化简可得：，满足
，
；
②当直线斜率不存在时，
且
，可设
，
，
则点的坐标分别为
，
，
此时
；
综上所述：的面积为定值.
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