Question

1．给出下列4个命题：
①在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“A=B”的充要条件；
②b²=ac是a，b，c成等比数列的充要条件；
③若log_a2＜log_b2＜0，则a＞b；
④若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则f（sinθ）＞f（cosθ）；  
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
②根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据对数的换底公式进行判断，
④根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化判断．

解答 解：①若A=B，则cosA+sinA=cosB+sinB成立，即必要性成立，
若cosA+sinA=cosB+sinB，则$\sqrt{2}$cos（A-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos（B-$\frac{π}{4}$），
则A-$\frac{π}{4}$=B-$\frac{π}{4}$或A-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$-B，
则A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，则充分性不成立，即，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“A=B”的充要条件错误，故①错误，
②当a=b=c=0时，满足b²=ac成立，但a，b，c不能成等比数列，故b²=ac是a，b，c成等比数列的充要条件错误，故②错误
③若log_a2＜log_b2＜0，则$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$＜$\frac{1}{lo{g}_{2}b}$＜0，
则log₂b＜log₂a＜0，则a＞b成立；故③正确，
④若θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则sinθ＞cosθ，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，
∴f（x）在[0，1]上是减函数，则f（sinθ）＜f（cosθ）；故④错误，
故正确的是③，
故选：A

点评 本题主要考查命题的真假判断涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．