Question

12．设函数f（x）=alnx-bx²．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线$y=-\frac{1}{2}$相切，求函数$f（x）在[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值．
（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的$a∈[{0，\frac{3}{2}}]$，x∈（1，e²]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a，b的值，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；
（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx-x对所有的a∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈（1，e²]都成立，令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，则m≤h（a）_min．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题知f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=a-2b=0\\ f（1）=-b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}，f'（x）=\frac{1}{x}-x=\frac{{1-{x^2}}}{x}$，
当$\frac{1}{e}$≤x≤e时，令f′（x）＞0得$\frac{1}{e}$＜x＜1；
令f′（x）＜0，得1＜x＜e，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈（1，e2]都成立，
即m≤alnx-x对所有的a∈[0，$\frac{3}{2}$]，x∈（1，e2]都成立，
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，
∴m≤h（a）_min．
∵x∈（1，e²]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，$\frac{3}{2}$]上单调递增，
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x对所有的x∈（1，e²]都成立．
∵1＜x＜e²，∴-e²≤-x＜-1，
∴m≤（-x）_min=-e²．
则实数m的取值范围为（-∞，-e²]．

点评 本题考查导数的运用，不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意运用单调性，是一道中档题．