Question

(本题满分14分)设有抛物线C：，通过原点O作C的切线，使切点P在第一象限.
（1）求m的值，以及P的坐标；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
（3）设C上有一点R，其横坐标为，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求的取值范围.

Answer 1

（1）斜率k=，P的坐标为（2，1）
（2）Q点的坐标为（，－4）
（3）t的取值范围为t<或t>.

设点P的坐标为（x₁， y₁），则y₁=kx₁……①，y₁= –+x₁ – 4……②，
①代入②，得：+（k–）x₁+4=0…………………………………………………2分
因为点P为切点，所以（k–）²–16=0，得：k=或k=……………………4分
当k=时x₁= －2，y₁= －17；当k=时，x₁= 2，y₁= 1；
因为点P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐标为（2，1），……………6分
法二：求导
（2）过 P点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：
x²－x+9=0，设Q点的坐标为（x₂， y₂），则2x₂=9，所以x₂=，y₂=－4，
所以Q点的坐标为（，－4），………………………………………………10分
（3）设C上有一点R（t，－t²+t–4），它到直线PQ的距离为：
d==……………………………………12分
点O到直线PQ的距离PO =，S_DOPQ=´PQ´OP，S_DPQR=´PQ´d，
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，S_DOPQ < S_DPQR，
        即：OP < d，即：>5，……………………………………14分
+4>0或+14<0
解之得：t<或t>
所以t的取值范围为t<或t>.……………………………16分
法二：做平行线