Question

已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．
（1）证明三点共线；
（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）同解析（2）存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点，交点到的距离为

（1）证明：设，
则直线的方程：       
即：
因在上，所以①   
又直线方程：
由得：
所以     
同理，
所以直线的方程：   
令得
将①代入上式得，即点在直线上
所以三点共线                           
（2）解：由已知共线，所以 
以为直径的圆的方程：
由得
所以（舍去），        
要使圆与抛物线有异于的交点，则
所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 
则，所以交点到的距离为