题目内容
若sin（α+β）=2sinα，且α，β均为锐角，求证：α＜β
考点：两角和与差的正弦函数
专题：计算题,三角函数的求值
分析：由已知有0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，可得sinαcosβ＜sinα，cosαsinβ＜sinβ，即可证明即2sinα＜sinα+sinβ，即sinα＜sinβ，由α、β∈（0，
）可证α＜β．
| π |
| 2 |
解答：
解：∵2sinα=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
又α、β是两锐角，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，
∴sinαcosβ＜sinα，cosαsinβ＜sinβ，
∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，即2sinα＜sinα+sinβ，
∴sinα＜sinβ，α、β∈（0，
），
∴α＜β．
又α、β是两锐角，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，
∴sinαcosβ＜sinα，cosαsinβ＜sinβ，
∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，即2sinα＜sinα+sinβ，
∴sinα＜sinβ，α、β∈（0，
| π |
| 2 |
∴α＜β．
点评：本题主要考察了两角和与差的三角函数公式及三角恒等变换的应用，分析证明要注意角的范围，属于基本知识的考查．
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