Question

【题目】已知动点到定点的距离比到定直线的距离小.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，.设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点；

（3）在（2）的条件下，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，由此利用抛物线的定义能求出点的轨迹的方程．

（2）设 两点坐标分别为 ，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为，，由，得．由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直线恒过定点．

（3）求出，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值．

解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离.根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线.

，抛物线方程为：

(2)设，两点坐标分别为，，则点的坐标为.

由题意可设直线的方程为.

由，得.

.

因为直线与曲线于，两点，所以，.

所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.

当时，有，此时直线的斜率.

所以，直线的方程为，整理得.

于是，直线恒过定点；

当时，直线的方程为，也过点.

综上所述，直线恒过定点.

(3)可求得.所以面积.

当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为.