Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，若，点关于直线的对称点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程与离心率；

（2）过点做直线与椭圆相交于两个不同的点；若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据，得到，得到点关于直线的对称点，代入椭圆方程，求出，再得到，从而得到椭圆的标准方程和离心率；

（2）当直线斜率不存在时，得到，直线斜率存在时，设为，与椭圆联立，得到的范围和，，从而表示出，得到其范围，再得到的取值范围.

（1）因为，故，故椭圆，

点关于直线的对称点为，

将代入椭圆中，得

解得，

所以，

所以椭圆的方程为，离心率；

（2）当直线的斜率不存在时，，所以．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，消去整理得，

由，可得，

，

所以

，

所以，

因为恒成立，

所以，

即实数的取值范围为．