Question

【题目】已知命题方程在在存在唯一实数根；，.

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若为真命题，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由为真命题得出，可解出实数的取值范围；

（2）令，并作出函数在区间上的图象，得出当直线与函数在上只有一个交点时实数的取值范围，可得出命题为真命题时实数的取值范围，由命题为真命题得出，解出对应的实数的取值范围，再将的两个取值范围取交集可得出命题为真命题时的取值范围.

（1），.

则命题为真命题时，有，则或.

因此，实数的取值范围是；

（2）若命题为真命题，则真且真.

命题为真命题时，即方程在上存在唯一实数根，

令，则函数在上单调递增，

问题转化为，在上存在唯一实数根，

令，则，.

作出函数在上的图象如下图所示：

由图象可知，当或时，即当或时，直线与函数在上有唯一交点.

当命题为真命题时，有，则.

因此，当为真命题时，的取值范围是.