Question

【题目】已知抛物线，的焦点为，过点的直线的斜率为，与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，两条切线的交点为．

（1）证明：；

（2）若的外接圆与抛物线有四个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）或

【解析】

（1）联立直线与抛物线的方程，利用根于系数关系，结合斜率表达式求得即可；

（2）由（1）可知，圆是以为直径的圆且圆的方程可化简为，联立圆与抛物线的方程得到，圆与抛物线有四个不同的交点等价于

解：（1）证明：依题意有，直线，

设，，，，直线与抛物线相交，

联立方程消去，化简得，

所以，．

又因为，所以直线的斜率．

同理，直线的斜率，

所以，，

所以，直线，即．

（2）由（1）可知，圆是以为直径的圆，

设是圆上的一点，则，

所以，圆的方程为，

又因为，

所以，圆的方程可化简为，

联立圆与抛物线得

消去，得，

即，即，

若方程与方程有相同的实数根，

则，矛盾，

所以，方程与方程没有相同的实数根，

所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于，

综上所述，．