题目内容
平面直角坐标系中，已知定点A1（-
，0），A2（
，0），动点B1（0，m），B2（0，
），（m∈R且m≠0），直线A1B1与直线A2B2的交点N的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l交轨迹C于P、Q两点，以PQ为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程．
| 7 |
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| 1 |
| m |
（1）求轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l交轨迹C于P、Q两点，以PQ为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）直线A1B1为：y=
x+m，直线A2B2为：y=-
x+
，由此能求出轨迹C的方程．
（2）设直线方程为y=x+n，与椭圆联立方程
，得8x2+14nx+7n2-7=0，由此能求出直线l的方程．
| m | ||
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| 1 | ||
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| 1 |
| m |
（2）设直线方程为y=x+n，与椭圆联立方程
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解答：
解：（1）直线A1B1为：y=
x+m，
直线A2B2为：y=-
x+
，
∴其交点满足方程
，
相乘消去m，得轨迹C的方程：
+y2=1（x≠-
）．…（5分）
（2）设直线方程为y=x+n，
与椭圆联立方程
，得8x2+14nx+7n2-7=0，
以PQ为直径的圆与y轴相切，∴|PQ|=x1+x2，
∴
|x1-x2|=x1+x2，∴(x1+x2)2=8x1x2，
∴7n2=16n2-16，∴n2=
，∴n=
或 n=-
，
∴直线l的方程为y=x+
，或 y=x-
．…（13分）
| m | ||
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直线A2B2为：y=-
| 1 | ||
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| 1 |
| m |
∴其交点满足方程
|
相乘消去m，得轨迹C的方程：
| x2 |
| 7 |
| 7 |
（2）设直线方程为y=x+n，
与椭圆联立方程
|
以PQ为直径的圆与y轴相切，∴|PQ|=x1+x2，
∴
| 2 |
∴7n2=16n2-16，∴n2=
| 16 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴直线l的方程为y=x+
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．
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