Question

【题目】已知且

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间[0，1）内有解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）定义域为，零点为0；（2）分类讨论，答案见解析．

【解析】

（1）求定义域要求真数大于0，列不等式组可得结果，求零点令函数值为0，解方程可在定义域内得函数的零点；

（2）利用函数零点（方程有根)求参数范围问题，可构造新函数，转化为两个函数有交点问题，也可利用函数的单调性，确定参数的取值范围.

解：（1）由得，

故的定义域为，

由，即，

得，

得，

解得或，

由于，故的零点为0；

（2）方法一：

在区间[0，1）内有解，即，有解，

令，，，在（0，1]为减函数，

则，即，

当时，，

时，；

方法二：

由方程在区间[0，1）内有解，即与在有交点，

．令，，，

在（0，1]为减函数，，，

当时，，即，

∴，

当时，，即，

∴；

方法三：

，

当时，在[0，1）上为增函数，此时，故此时

当时，在[0，1）上为减函数，此时，故此时，

综上时，，时.