Question

【题目】已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线的斜率为，直线与椭圆交于两点．点为椭圆上一点，求的面积的最大值及此时直线的直线方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最大值为,此时直线的方程为：

【解析】

（Ⅰ）根据题意列出关于的方程组，求解即可得出结果；

（Ⅱ）先设的方程为，点，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线距离，表示出的面积，进而可求出其最大值，确定此时的直线方程.

解：（Ⅰ）由条件得：，解得，∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）设的方程为，点，由消去得．令，解得，

由韦达定理得．

则由弦长公式得．

又点到直线的距离，

∴，

当且仅当，即时取得最大值．∴面积的最大值为，

此时直线的方程为：．