Question

【题目】三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利·勃劳卡德（Henri.Brocard）命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示.

（1）研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，求线段的长度；

（2）若中，，，，求的值；

（3）若中，若线段，，的长度是1为首项，公比为q（）的等比数列，当时，求公比q的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意可得，，然后在中利用正弦定理可求出的长；

（2）在中由正弦定理求得，再利用求出，列出等式求出的值；

（3）由等比数列求出，，在和中由正弦定理得，，由此可得出，得到，再由正弦定理得，再对此式化简得，然后在表示出的值代入化简可得结果

（1）由题意可知，，，于是，

在中，由正弦定理得，

得.

（2）由题意可得，，

由已知，，，故，，

在中，有正弦定理得，

在中，

所以，解得.

（2）设的三边a，b，c的对角分别为A，B，C.

由于线段，，的长度是1为首项，则，

在和中由正弦定理得，

所以，于是，且

所以，所以，所以

注意到，

在和中由正弦定理得①

②

①②得，即，且有（是已知的）

展开得

又等腰三角形中，，，代入得

，令，代入平方整理得

解得或（舍去），所以.