Question

6．已知函数f（x）=1n（x+$\sqrt{4+{x}^{2}}$）-ln2．
（1）求f（2）+f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的值；
（2）判断函数（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）将f（x）中的x分别换上2和$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后进行对数的运算即可；
（2）容易看出函数f（x）的定义域为R，求f（-x），进行分子有理化，及对数的运算便可判断和f（x）的关系，从而得出f（x）的奇偶性．

解答 解：（1）f（2）+f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$ln（2+\sqrt{8}）-ln2+ln（\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{4+\frac{1}{2}}）-ln2$=$ln\frac{2+2\sqrt{2}}{2}+ln（\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}）-ln2$=$ln（1+\sqrt{2}）+ln\sqrt{2}=ln（2+\sqrt{2}）$；
（2）$x+\sqrt{4+{x}^{2}}＞0$恒成立；
∴函数f（x）的定义域为R；
f（-x）=$ln（-x+\sqrt{4+{x}^{2}}）-ln2$=$ln\frac{4}{x+\sqrt{4+{x}^{2}}}-ln2=2ln2-ln（x+\sqrt{4+{x}^{2}}）-ln2$=$-[ln（x+\sqrt{4+{x}^{2}}）-ln2]=-f（x）$；
∴函数f（x）为奇函数．

点评 考查已知函数求值，对数的运算，以及奇函数的定义，及根据奇函数的定义判断函数奇偶性的方法和过程，分子有理化方法的运用．