Question

14．已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），点P在直线AB上，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$．
（1）记函数f（x）=$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$，判断点（$\frac{7π}{8}$，0）是否为函数f（x）图象的对称中心，若是，请给予证明；若不是，请说明理由．
（2）若函数g（x）=|$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$|，且x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求函数g（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}$=（cosx-sinx，-1），$\overrightarrow{CA}$=（2sinx，-1），利用数量积运算性质可得f（x）=$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，计算则$f（\frac{7π}{8}）$=0是否成立即可判断出．
（2）由于$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$，可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$，利用数量积运算性质可得：g（x）=|$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{5-2sin2x}$，利用x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可得sin2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$．即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}$=（cosx-sinx，-1），$\overrightarrow{CA}$=（2sinx，-1），
∴f（x）=$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$=2sinx（cosx-sinx）+1=sin2x-2sin²x+1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
则$f（\frac{7π}{8}）$=$\sqrt{2}sin（2×\frac{7π}{8}+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}sin2π$=0，
因此点（$\frac{7π}{8}$，0）为函数f（x）图象的对称中心．
（2）∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$，∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}$=（2cosx-sinx，-1），
∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$=（2cosx-2sinx，1），
∴g（x）=|$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{（2cosx-2sinx）^{2}+1}$=$\sqrt{5-2sin2x}$，
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈$[-\frac{π}{6}，π]$，∴sin2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$．
∴g（x）∈$[\sqrt{3}，\sqrt{6}]$．
∴当x=$-\frac{π}{12}$时，函数g（x）取得最大值$\sqrt{6}$，当x=$\frac{π}{4}$时，函数g（x）取得最小值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．