Question

已知函数f（x）=x³-4ax²+5x（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数在区间[0，2]上的最大值；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上无极值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：1）把a=1代入f（x），求导数f′（x），令f′（x）=0，求得极值点，再和端点值比较，求出最大值，
（2）对函数求导，由导函数为二次函数，可知若函数f（x）在区间（0，2]上无极值，则f（0）f（2）＞0即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，函数f（x）=x³-4x²+5x，
f′（x）=3x²-8x+5，令f′（x）=0，解得x=

5

3

，或x=1，此为极值点，
则函数f（x）在[0，2]上的最大值为{f（0），f（

5

3

），f（1），f（2）}={0，-

400

27

，2}中最大的值2．
（2）函数f（x）=x³-4ax²+5x，
则f′（x）=3x²-8ax+5，为二次函数，
若函数f（x）在区间（0，2]上无极值，即f′（x）=0在（0，2]无根，
则f（0）f（2）＞0，即17-16a＞0，解得a＜

17

16

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及最值，注意转化求解．