Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，若函数y=f[f（x）+K]恰有3个不同零点，则K的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，-1]
• C． [-1.0]
• D． [-1，1）

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$的图象，从而可得f（x）=-K有两个不同的解，f（x）=2-K有一个解，从而结合图象可得-K≤1且2-K＞1，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$的图象如右图，
∵函数y=f[f（x）+K]恰有3个不同零点，
∴f（x）+K=0或f（x）+K=2，
∴f（x）=-K与f（x）=2-K共有三个不同的解，
∵2-K＞-K，
∴f（x）=-K有两个不同的解，f（x）=2-K有一个解，
∴-K≤1且2-K＞1，
即-1≤K＜1，
故选：D．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用．