Question

4．已知点A（1，1），B（3，5），C（7，3），D（5，-1）．
（1）求证：$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$；
（2）设$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，求x，y的值．

Answer 1

分析 （1）分别求出$\overrightarrow{AC}$=（6，2），$\overrightarrow{BD}$=（2，-6），由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，能证明$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$．
（2）分别求出$\overrightarrow{AC}=（6，2）$，$\overrightarrow{AB}=（2，4）$，$\overrightarrow{AD}$=（4，-2），由$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，列出方程组，能求出x，y的值．

解答 证明：（1）∵A（1，1），B（3，5），C（7，3），D（5，-1），
∴$\overrightarrow{AC}$=（6，2），$\overrightarrow{BD}$=（2，-6），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=12-12=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$．
解：（2）$\overrightarrow{AC}=（6，2）$，$\overrightarrow{AB}=（2，4）$，$\overrightarrow{AD}$=（4，-2），
∵$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=6}\\{4x-2y=2}\end{array}\right.$，解得x=1，y=1．
∴x，y的值均为1．

点评 本题考查向量垂直的证明，考查向量相等的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行和向量相等的性质的合理运用．