Question

已知函数f（x）=2

3

sin(x+

π

4

)•cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用函数的恒等变换把函数转化成正弦型函数，进一步求出函数的周期．
（2）利用（1）的结论对函数定型平移变换，进一步利用函数的定义域求三角函数的最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=2

3

sin(x+

π

4

)•cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

）
所以：T=

2π

2

=π
（2）由（1）得：函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）向右平移

π

4

个单位得到：g（x）=2sin（2x-

π

6

）
由于x∈[0，

π

2

]
所以：2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]
函数g（x）=2sin（2x-

π

6

）∈[-1，2]
当x=0时函数的最小值为-1．
当x=

π

3

时，函数取得最大值为2．

点评：本题考查的知识要点：函数图象的恒等变换，正弦型函数的周期和图象的变换问题，利用函数的定义域求三角函数的最大值和最小值．