Question

19．已知函数f（x）=x|x²-a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是（-1，5）．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）＜2可得-2＜x³-ax＜2，即为-x²-$\frac{2}{x}$＜-a＜-x²+$\frac{2}{x}$，等价为（-x²-$\frac{2}{x}$）_min＜-a＜（-x²+$\frac{2}{x}$）_max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：当x∈[1，2]时，f（x）=|x³-ax|，
由f（x）＜2可得-2＜x³-ax＜2，
即为-x²-$\frac{2}{x}$＜-a＜-x²+$\frac{2}{x}$，
设g（x）=-x²-$\frac{2}{x}$，
导数为g′（x）=-2x+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，
即g（x）递减，（可由单调性的定义得到），
可得g（x）_min=-4-1=-5，
即有-a＞-5，即a＜5；
设h（x）=-x²+$\frac{2}{x}$，导数为h′（x）=-2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，
即h（x）递减，（可由减+减=减得到），
可得h（x）_max=-1+2=1．
即有-a＜1，即a＞-1．
综上可得，a的范围是-1＜a＜5．
故答案为：（-1，5）．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用转化思想和参数分离法，构造函数法，运用单调性解决，属于中档题和易错题．