题目内容

11.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3,1≤x≤3}\\{x-3,x>3}\\{\;}\end{array}\right.$,若在其定义域内存在n(n≥2,n∈N*)个不同的数x1,x2,…,xn,使得$\frac{f({x}_{1})}{{x}_{1}}$=$\frac{f({x}_{2})}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f({x}_{n})}{{x}_{n}}$,则n的最大值是3;若n=2,则$\frac{f({x}_{n})}{{x}_{n}}$的最大值等于4-$2\sqrt{3}$.

分析 作出f(x)的图象,利用$\frac{f({x}_{1})}{{x}_{1}}$=$\frac{f({x}_{2})}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f({x}_{n})}{{x}_{n}}$=k的几何意义是过原点的直线与f(x)相交点的斜率.利用数形结合进行求解即可.

解答 解:作出函数f(x)的图象如图:$\frac{f({x}_{1})}{{x}_{1}}$=$\frac{f({x}_{2})}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f({x}_{n})}{{x}_{n}}$=k的几何意义是过原点的直线与f(x)相交点的斜率,
由图象知过原点的直线和f(x)最多有3个交点,即n的最大值是3,
若n=2,则直线与f(x)有两个交点,
则当过原点的直线y=kx的斜率k=0,或者y=kx与f(x)在1≤x≤3相切时的斜率,
其中$\frac{f({x}_{n})}{{x}_{n}}$的最大值为y=kxf(x)在1≤x≤3相切时的斜率,
将y=kx代入y=-x2+4x-3,得kx=-x2+4x-3,即x2+(k-4)x+3=0,
由判别式△=(k-4)2-12=0得k-4=±$2\sqrt{3}$,即k=4±$2\sqrt{3}$,
∵方程的根x=$-\frac{k-4}{2}$∈(1,2),
∴0<k<2,则k=4-$2\sqrt{3}$,
故$\frac{f({x}_{n})}{{x}_{n}}$的最大值等于4-$2\sqrt{3}$,
故答案为:3,4-$2\sqrt{3}$

点评 本题主要考查分段函数的应用,正确理解$\frac{f({x}_{1})}{{x}_{1}}$=$\frac{f({x}_{2})}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f({x}_{n})}{{x}_{n}}$=k的几何意义是过原点的直线与f(x)相交点的斜率,是解决本题的关键.注意利用数形结合进行求解.

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