Question

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A、B.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的值（O点为坐标原点）；
（3）若坐标原点O到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer 1

（1）    （2）    
（3）
当|AB最大时，的面积最大值  

（1）依题意得，所以.椭圆方程为
（2）直线方程与椭圆方程联立，保证，求出，利用，可得
（3）由原点O到直线的距离为得.直线方程与椭圆方程联立，保证，求出，利用，可得
利用不等式求出最值.注意的讨论.
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意 解得
由 2分
所求椭圆方程为  3分
（2）  设，其坐标满足方程
消去并整理得   4分
则有，      6分
       
  8分
（3）由已知，可得    9分
将代入椭圆方程，
整理得

 10分

 11分
   12分
当且仅当，即时等号成立，经检验，满足（*）式
当时，
综上可知               13分
当|AB最大时，的面积最大值   14分