Question

已知椭圆的离心率，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线，当直线交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为的垂心（三角形三条高的交点）？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．

第一问中利用根据题意得，，，，
，，
，又，


第二问中，假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，
设，
因为，，故．                    …………7分
于是设直线的方程为，
由得，结合韦达定理并由题意应有，又，得到结论。
解：根据题意得，，，，
，，
，又，


故椭圆方程为．   　　　　               …………5分
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，
设，
因为，，故．                    …………7分
于是设直线的方程为，
由得．
由，得， 且,．   ……9分
由题意应有，又，
故，
得．
即．
整理得．
解得或．                              …………11分
经检验，当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．
…………12分