Question

13．已知数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=n²，则数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$}的前n项和T_n=$\frac{n}{4（n+1）}$．

Answer 1

分析 分类讨论求得$\sqrt{{a}_{n}}$=2n-1，再求得a_n=（2n-1）²，从而化简得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而求前n项和即可．

解答 解：①当n=1时，$\sqrt{{a}_{1}}$=S₁=1，
②当n≥2时，$\sqrt{{a}_{n}}$=S_n-S_n-1
=n²-（n-1）²=2n-1；
综上所述，$\sqrt{{a}_{n}}$=2n-1，
故a_n=（2n-1）²，
故$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$
=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{n}{4（n+1）}$，
故答案为：$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及裂项求和法的应用，同时考查了学生的化简运算能力．