题目内容
如图所示，n台机器人M1，M2，…，Mn位于一条直线上，检测台M在线段M1Mn上，n台机器人需把各自生产的零件送交/\∥处进行检测，送检程序设定：当M把零件送达M处时，Mi+1即刻自动出发送检（i=1，2，…，n-1）．已知M的送检速度为v（v＞0），且|MiMi+1|=1（i=1，2，…，n-1）．记|M1M|=x，n，规定机器人送检时间总和为f（x）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）当n=3时，求x的值使得f（x）取得最小值；
（3）求f（x）取得最小值时，x的取值范围．
（1）求f（x）的表达式；
（2）当n=3时，求x的值使得f（x）取得最小值；
（3）求f（x）取得最小值时，x的取值范围．
考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法
专题：应用题,分类讨论
分析：根据题意求出解析式，讨论去掉绝对值，得到分段函数，再求最值．
解答：
解：（1）以M1为坐标原点，M1，M2，…，Mn所在的直线为x轴建立数轴，则Mi的坐标为i-1，M的坐标
为x，f（x）=
(|x|+|x-1|+|x-2|+…+|x-(n-1)|)，x∈[0，n-1]．
（2）当n=3时，vf（x）=|x|+|x-1|+|x-2|=
，
vf（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
又∵f（x）在x=1处取得最小值．
（3）当i≤x≤i+1（0≤i＜n-2，i∈Z）时，
vf（x）=|x|+|x-1|+|x-2|+…+|x-i|+|x-（i+1）|+…+|x-（n-1）|
=x+x-1+…+x-i-（x-（i+1））-…-（x-（n-1））
=[（i+1）x-（1+2+3+…+i）]-[（n-（i+1））x-（i+1+i+2+…+（n-1））]
=-[n-2（i+1）]x-
．
当0≤i＜
-1时，f（x）单调递减；
当
-1＜i≤n-1时，f（x）单调递增；
当i=
-1时，f（x）为常数函数，
又f（x）的函数图象是一条连续不断的图象，
则①n为偶数时，f（x）在（0，
-1）内单调递减，在（
-1，
）上为常数函数，在（
，n-1）内单调递增；
所以，当x∈[
-1，
]时，f（x）取得最小值．
②n为奇数时，f（x）在（0，
）内单调递减，在（
，n-1）内单调递增；
所以，当x=
时，f（x）取得最小值．
为x，f（x）=
| 1 |
| v |
（2）当n=3时，vf（x）=|x|+|x-1|+|x-2|=
|
vf（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
又∵f（x）在x=1处取得最小值．
（3）当i≤x≤i+1（0≤i＜n-2，i∈Z）时，
vf（x）=|x|+|x-1|+|x-2|+…+|x-i|+|x-（i+1）|+…+|x-（n-1）|
=x+x-1+…+x-i-（x-（i+1））-…-（x-（n-1））
=[（i+1）x-（1+2+3+…+i）]-[（n-（i+1））x-（i+1+i+2+…+（n-1））]
=-[n-2（i+1）]x-
| i(i+1)-(i+n)(n-i-1) |
| 2 |
当0≤i＜
| n |
| 2 |
当
| n |
| 2 |
当i=
| n |
| 2 |
又f（x）的函数图象是一条连续不断的图象，
则①n为偶数时，f（x）在（0，
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
所以，当x∈[
| n |
| 2 |
| n |
| 2 |
②n为奇数时，f（x）在（0，
| n-1 |
| 2 |
| n-1 |
| 2 |
所以，当x=
| n-1 |
| 2 |
点评：本题考察了分类讨论求含绝对值的函数的最值．
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