Question

8．椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点$（0，\sqrt{3}）$，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l₁交椭圆W于A，B两点，过F作直线l₂交椭圆W于C，D两点，且$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）求证：|AB|²=4|CD|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆W的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞b＞0．利用真假求解即可．
（Ⅱ）当直线l₁垂直于x轴时，推出|AB|²=4|CD|．
当直线l₁不垂直于x轴时，设直线l₁的斜率为k，则依题意l₂的斜率也为k，其方程为y=k（x-1）．设点A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．求出${|{AB}|^2}=4（{x_0^2+y_0^2}）$．把y=k（x-1）代入椭圆方程中，整理得，通过判别式，韦达定理以及弦长公式，证明|AB|²=4|CD|．

解答 （本题满分14分）
解：（Ⅰ）因为已知焦点在x轴上，设椭圆W的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a＞b＞0．
由题意：$b=\sqrt{3}，c=1$，则a²=4．
所求椭圆W的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）当直线l₁垂直于x轴时，则直线l₂也垂直于x轴，把x=1代入椭圆W的方程，得$y=±\frac{3}{2}$，即此时|CD|=3，而$|{AB}|=2\sqrt{3}$，所以|AB|²=4|CD|．
当直线l₁不垂直于x轴时，设直线l₁的斜率为k，则依题意l₂的斜率也为k，其方程为y=k（x-1）．设点A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
则${|{AB}|^2}=4（{x_0^2+y_0^2}）$．
把y=k（x-1）代入椭圆方程中，整理得，（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
显然△＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．
则$|{CD}|=\sqrt{（{x_1}-{x_2}{）^2}+（{y_1}-{y_2}{）^2}}=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\sqrt{1+{k^2}}$$\sqrt{（{x_1}+{x_2}{）^2}-4{x_1}{x_2}}$．
即|CD|=$\sqrt{1+{k^2}}$$\sqrt{\frac{{144（{k^2}+1）}}{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}}$=$\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}$．
由${|{AB}|^2}=4（{x_0^2+y_0^2}）$，且A（x₀，y₀）在椭圆上，
得${|{AB}|^2}=4[{{x_0}^2+3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）}]=4（\frac{{{x_0}^2}}{4}+3）$．
则|AB|²（4k²+3）=$4{k^2}x_0^2+3x_0^2+48{k^2}+36$．
因为直线l₁过原点，所以y₀=kx₀，则|AB|²（4k²+3）=$4y_0^2+3x_0^2+48{k^2}+36$．
因为A（x₀，y₀）在椭圆上，所以$3x_0^2+4y_0^2=12$，所以|AB|²（4k²+3）=48（k²+1）．
所以|AB|²（4k²+3）=4×12（k²+1），即|AB|²=4|CD|．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．