Question

13．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-kx}{x-1}$（0＜a＜1）为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若m＞n＞1，比较f（m）与f（n）的大小；
（3）当a=$\frac{1}{2}$时，若函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x+t，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0，结合对数的运算性质，可得k=-1；
（2）运用复合函数的单调性，结合对数函数的单调性即可得证；
（3）问题转化为t＜${（\frac{1}{2}）}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$对任意x∈[3，4]恒成立，或t＞${（\frac{1}{2}）}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$对任意x∈[3，4]恒成立，运用单调性即可得到t的范围；

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a$\frac{1-kx}{x-1}$是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0，即为log_a$\frac{1+kx}{-x-1}$+log_a $\frac{1-kx}{x-1}$=0，
∴$\frac{1{{-k}^{2}x}^{2}}{1{-x}^{2}}$=1，可得k=±1，
检验可得k=-1成立；
（2）由（1）得：f（x）=${log}_{a}^{\frac{x+1}{x-1}}$，
令y=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）递减，
而0＜a＜1，f（y）=${log}_{a}^{y}$是减函数，
根据复合函数同增异减的原则，
函数f（x）在（1，+∞）递增，
若m＞n＞1，则f（m）＞f（n）；
（3）当a=$\frac{1}{2}$时，若函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x+t，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，
即t＜${（\frac{1}{2}）}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$对任意x∈[3，4]恒成立，或t＞${（\frac{1}{2}）}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$对任意x∈[3，4]恒成立
设g（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$，
由（1）和（2）可得g（x）在[3，4]递减，
则g（x）_min=g（4）=$\frac{1}{16}$+${log}_{2}^{5}$-${log}_{2}^{3}$，g（x）_max=g（2）=$\frac{1}{8}$+${log}_{2}^{4}$-${log}_{2}^{2}$=$\frac{9}{8}$，
则t＜$\frac{1}{16}$+${log}_{2}^{5}$-${log}_{2}^{3}$，或t＞$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断及运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，属于中档题．