Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD，PA=$\sqrt{2}$，又E为边BC上异于B，C的点，且PE⊥ED．
（1）求证：平面PAE⊥平面PDE；
（2）求点A到平面PDE的距离．

Answer 1

分析 （1）证明DE⊥平面PAE，即可证明平面PAE⊥平面PDE．
（2）由题意可得：DE⊥AE，设BE=x，即可表示出AE²=x²-x+1与ED²=x²-5x+7，可得x=1，再由面PAE⊥平面PED可得：A到面PED的距离转化为A到棱PE的距离，进而根据Rt△PAE的边长关系得到答案．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DE，
∵PE⊥ED，PA∩PE=P，
∴DE⊥平面PAE，
∵DE?平面PDE，
∴平面PAE⊥平面PDE； 
（2）因为PE⊥ED，PA⊥ED，
所以ED⊥平面PAE，
所以DE⊥AE．
在平行四边形ABCD中，设BE=x，
则AE²=1+x²-2•1•x•$\frac{1}{2}$=x²-x+1
ED²=1+（2-x）²+2×1×（2-x）×$\frac{1}{2}$=x²-5x+7
由AD²=AE²+DE²可知：x²-3x+2=0，故x=1，x=2（舍）
因为DE⊥平面PAE，
所以面PAE⊥平面PED．
所以A到面PED的距离转化为A到棱PE的距离．
在Rt△PAE中，PA=$\sqrt{2}$，AE=BE=1，
所以PE=$\sqrt{3}$
所以A到PE的距离d=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故A到平面PED之距为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．