Question

设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x₁和x₂，记过点A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

思路分析　先求导，通分后发现f′(x)的符号与a有关，应对a进行分类，依据方程的判别式来分类．

解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝1＋－＝.

令g(x)＝x²－ax＋1，其判别式Δ＝a²－4.

①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x₁＝，

x₂＝.

当0＜x＜x₁时，f′(x)＞0，当x₁＜x＜x₂时，f′(x)＜0；

当x＞x₂时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x₁)，(x₂，＋∞)上单调递增，在(x₁，x₂)上单调递减．

(2)由(1)知，a＞2.

因为f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)＋－a(ln x₁－ln x₂)，所以，k＝＝1＋－a·.

又由(1)知，x₁x₂＝1，于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a，则＝1.

即ln x₁－ln x₂＝x₁－x₂.

由x₁x₂＝1得x₂－－2ln x₂＝0(x₂＞1)．(*)

再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x₂＞1，所以x₂－－2ln x₂＞1－－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．

故不存在a，使得k＝2－a.