Question

12．设函数f（x）=|x-2|-|x+3|
（1）求不等式f（x）＜3的解集；
（2）若不等式f（x）＜3+a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
（2）问题转化为|x-2|-|x+3|＜a+3，根据绝对值的性质得到a+3＞5，解出即可．

解答 解：（1）由|x-2|-|x+3|＜3，当x≤-3时，2-x+x+3＜3，解集为空集；
当-3＜x＜2时，2-x-（x+3）＜3，解得：-2＜x＜2；
当x≥2时，x-2-（x+3）＜3，解得：x≥2．
综上所述，所求不等式解集为{x|x＞-2}．
（2）不等式f（x）＜3+a等价于|x-2|-|x+3|＜a+3，
∵|x-2|-|x+3|≤|x-2-（x+3）|=5（当且仅当x≤-3时取等号），
∴a+3＞5，即a＞2．故实数a的取值范围为（2，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．