Question

【题目】已知数列{an}满足：a1=1，|an+1－an|=pn，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和.

（1）若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；

（2）若p=，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令cn=n（an+1－an），求数列{cn}的前n项和Tn.

Answer 1

【答案】（1）p=.（2）an=+·.（3）

【解析】分析：（1）由题意得到关于p的方程，解方程可得p=.

（2）由题意可知a2n+1－a2n－1>0，讨论可得a2n－a2n－1=. 同理有a2n+1－a2n=. 则数列的通项公式为an=+·.

（3）结合(2)中的结果首先求得数列的通项公式，然后求解其前n项和即可.

详解：（1）因为{an}是递增数列，所以an+l－an=an+1－an=pn.

因为a1=1，a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2=a1+3a3，

则3a3－3a2=a2－a1，即3p2－p=0，解得p=或p=0.

当p=0时，an+1=an，这与{an}是递增数列矛盾，

所以p=.

（2）由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n+1－a2n－1>0，

所以（a2n+1－a2n）+（a2n－a2n－1）>0.

因为<，所以a2n+1－a2n<a2n－a2n－1.

所以a2n－a2n－1>0，

因此a2n－a2n－1=（）2n－1=.

因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n+1－a2n<0，

所以a2n+1－a2n=－（）2n=.

所以an+1－an=.

于是an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）

==1+－+…+，

所以数列{an}的通项公式为an=+·.

(3)由题意可知： ，

则数列{cn}的前n项和.