Question

（本小题满分14分）

已知数列的前项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，是否存在，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）不存在k.

【解析】

试题分析：本题主要考查由求、等比中项、均值定理、对数的性质、反证法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，由计算得到，从而判断出数列是首项为的常数列，即，所以；第二问，用反证法，先利用等比中项列出，再代入中，利用均值定理进行变形，再利用对数的性质化简，从而得到，得到矛盾，从而证出所求证的结论.

试题解析：（1）解法1：当时，， 2分

即． 4分

∴数列是首项为的常数列． 5分

∴，即．

∴数列的通项公式为． 7分

解法2：当时，， 2分

∴． 4分

． 5分

∵，符合的表达式． 6分

∴数列的通项公式为． 7分

（2）假设存在，使得、、成等比数列，

则． 8分

∵，

∴ 11分

． 13分

这与矛盾．

∴不存在，使得、、成等比数列． 14分

考点：由求、等比中项、均值定理、对数的性质、反证法.