Question

16．已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的实数x，恒有f（x）≥0，请比较e^a与a^e的大小．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数的单调性，主要对a进行讨论；
（2）确定a≤e，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性进行判断即可．

解答 解：（1）由f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，显然f′（x）=e^x-a≥0；
②当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna，显然当x＞lna时，f′（x）＞0；
∴当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上递增，在（-∞，lna）上递减；
（2）∵对任意的实数x，恒有f（x）≥0，
∴e^x-ax≥0，
x=0，a∈R；
x＞0，a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，令m（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则m′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴m（x）_min=m（1）=e，∴a≤e；
x＜0，a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，g（x）在（-∞，0）上单调递减，无最大值，不成立．
∴a≤e．
构造函数h（x）=x-elnx，则h′（x）=1-$\frac{e}{x}$，
由h′（x）=0，解得x=e，
当0＜x＜e时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
∴h（a）≥h（e）=0，
即h（a）=a-elna≥0，
即a≥elna，即e^a≥a^e．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的应用，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．利用构造法是解决本题的难点．