Question

已知数列{a_n}满足：S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，得a_n=2a_n-1，a₁=2，由此能求出an=2n．
（Ⅱ）由b_n=（n-1）a_n=（n-1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足：S_n=2a_n-2（n∈N^*），
∴S_n-1=2a_n-1-2，n≥2，
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
又a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
∴an=2n．
（Ⅱ）∵b_n=（n-1）a_n=（n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁶+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=

4(1-2n-1)

1-2

-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=-4-（n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-2)2n+1+4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．