题目内容

已知函数f（x）=2
3
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b=
3
a，sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），求f（B）的值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（I）利用平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出；
（II）利用两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理即可得出．
解答： 解：（Ⅰ）f(x)=
3
sin2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x)
=
3
sin2x+cos2x-sin2x
=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
)

∴f（x）的最大值是2．
（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得 sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=
3
a，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3a2+4a2-4
3
a2cosA⇒cosA=
3
2

⇒A=
π
6
，B=
π
3
，C=
π
2
，
∴f(B)=f(
π
3
)=2sin
5π
6
=1．
点评：本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知数列{an}满足：Sn=2an-2（n∈N*）．
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（Ⅱ）令bn=（n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．
已知函数f（x）=
a
x
+lnx（a∈R）．
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（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）+2x的极值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．
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2x-b
2x+a
．
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（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立，求k的取值．
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3
5

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（2）求sinα与tanα的值．
已知曲线C1：
x=cosθ
y=
3
6
sinθ
（θ为参数），C2：
x=
2
2
+t•cosα
y=t•sinα
（t为参数）．
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2
2x+1
（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（2）证明函数f（x）的单调性．
已知函数f（x）=
a
x
+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数f（x）+2x的极值；
（Ⅲ）若f（x）＜
1
2
x在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．
cos（-
16
3
π）的值为
 
．

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