Question

已知函数f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大与最小值；  
（2）求实数a的取值范围，使函数f（x）在[-2，2]上不是单调函数；    
（3）求函数f（x）的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=1代入，分析函数在给定区间上的单调性，进而可得f（x）的最大与最小值；  
（2）函数f（x）不是单调函数，判断对称轴在已知的区间内，即可求实数a的取值范围；
（3）讨论对称轴的位置，然后求解函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）表达式．

解答： 解：∵函数f（x）=-x²+2ax-1的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线；
（1）当a=1时，x∈[-2，2]，
函数f（x）在[-2，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，
∴y_max=f（1）=0，
y_min=f（-2）=-9，
（2）若函数f（x）在[-2，2]上不是单调函数，
则a∈（-2，2），
∴-2＜a＜2时函数f（x）在[-2，2]上不是单调函数；
（3）当a≤-2时，g（a）=f（-2）=-4a-5，g（a）的最小值为3； 
当-2＜a＜2时，g（a）=f（a）=a²-1，g（a）的最小值为-1，
当a≥2时，g（a）=f（2）=4a-5，g（a）的最小值为3，
∴当a∈R时，g（a）的最小值为-1

点评：本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力以及分类讨论思想的应用．