题目内容
已知函数y=x+
有如下性质：如果常数k＞0，那么该函数在（0，
）是减函数，在(
，+∞)是增函数．
（1）已知f（x）=
，利用上述性质，试求函数f（x）在x∈[2，3]的值域和单调区间；
（2）由（1）中的函数f（x）和函数g（x）=x+a，若对任意的x∈[2，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
| k |
| x |
| k |
| k |
（1）已知f（x）=
| 4x2-12x+13 |
| 2x-3 |
（2）由（1）中的函数f（x）和函数g（x）=x+a，若对任意的x∈[2，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：本题（1）通过令μ=2x-3换元，将原函数转化为y=μ+
，利用已知条件，得到函数的值域的单调区间，再μ满足的区间转化为x取值区间，得到本题结论；（2）本题恒成立问题，利用参变量分离，转化为求y=x+
型函数最值问题，求出函数最值，得到本题结论．
| 4 |
| μ |
| k |
| x |
解答：
解：（1）令μ=2x-3（1≤μ≤3），
∴y=μ+
，
依题可知：y=μ+
在区间[1，2）单调递减，在区间[2，3]单调递增．
∴y=f（x）的值域为[4，5]；
当μ∈[1，2]时，x∈[2，
]，
当μ∈（2，3]时，x∈(
，3]．
∴y=f（x）的单调递减区间为[2，
]，单调递增区间为(
，3]
（2）依题可知，∵f（x）＜g（x）恒成立，
∴a＞
-x在x∈[2，3]恒成立．
设h(x)=
-x=
，
令μ=2x-3（1≤μ≤3），
则y=
(μ+
-3)≤3．
∴a＞3．
∴y=μ+
| 4 |
| μ |
依题可知：y=μ+
| 4 |
| μ |
∴y=f（x）的值域为[4，5]；
当μ∈[1，2]时，x∈[2，
| 5 |
| 2 |
当μ∈（2，3]时，x∈(
| 5 |
| 2 |
∴y=f（x）的单调递减区间为[2，
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）依题可知，∵f（x）＜g（x）恒成立，
∴a＞
| 4x2-12x+13 |
| 2x-3 |
设h(x)=
| 4x2-12x+13 |
| 2x-3 |
| 2x2-9x+13 |
| 2x-3 |
令μ=2x-3（1≤μ≤3），
则y=
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| μ |
∴a＞3．
点评：本题考查了y=x+
型函数的单调性和最值、还考查了化归转化的数学思想方法，本题难度不大，属于基础题．
| k |
| x |
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