Question

2．设函数f（x）为（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0的解集为（-∞，-2019）．

Answer 1

分析 通过观察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，由x＜0，可得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，而这时不等式的左边是（x²f（x））′，所以构造函数F（x）=x²f（x），则能判断该函数在（-∞，0）上是减函数．这时F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F（-3）=9f（-3），而到这会发现不等式（x+2016）²f（x+2016）-9f（-3）＞0可以变成F（x+2016）＞F（-3），从而解这个不等式便可，而这个不等式利用F（x）的单调性可以求解．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F（-3）=9f（-3）；
即不等式等价为F（x+2016）-F（-3）＞0；
∵F（x）在（-∞，0）是减函数；
∴由F（x+2016）＞F（-3）得，x+2016＜-3，
∴x＜-2019；
故答案为：（-∞，-2019）．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．