Question

12．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA₁，CC₁的中点，且BE⊥B₁F．
（1）求证：B₁F⊥平面BEC₁；
（2）求二面角A-BC₁-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别取BC₁，BC中点D，G，连结ED，AG，推导出AG⊥面BCC₁B₁，从而ED⊥B₁F，BE⊥B₁F，由此能证明B₁F⊥面BEC₁．
（Ⅱ）以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-BC₁-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）分别取BC₁，BC中点D，G，连结ED，AG，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且底面是正三角形，
∴AG⊥面BCC₁B₁，又∵E，D都是中点，
由题意ED∥AG，∴ED⊥面BCC₁B₁，∴ED⊥B₁F，
已知BE⊥B₁F，BE∩ED=E，∴B₁F⊥面BEC₁；                  …（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁F⊥面BEC₁，∴B₁F⊥BC₁，
由题意${S_{△{B_1}{C_1}F}}$∽${S_{△B{B_1}{C_1}}}$，
∴$\frac{{{C_1}F}}{{{C_1}{B_1}}}=\frac{{{C_1}{B_1}}}{{B{B_1}}}$，设BB₁=a，则${C_1}F=\frac{a}{2}$，代入得$a=2\sqrt{2}$，
以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立如图坐标系O-xyz，
得A（0，-1，0），$B（{\sqrt{3}，0，0}）$，${B_1}（{\sqrt{3}，0，2\sqrt{2}}）$，
${C_1}（{0，1，2\sqrt{2}}）$，$E（{0，-1，\sqrt{2}}）$，$F（{0，1，\sqrt{2}}）$，
则$\overrightarrow{{B_1}F}=（{-\sqrt{3}，1，-\sqrt{2}}）$，$\overrightarrow{AB}=（{\sqrt{3}，1，0}）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（{0，2，2\sqrt{2}}）$，
∵B₁F⊥面BEC₁，∴平面 BEC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-$\sqrt{3}$，1，-$\sqrt{2}$），
设平面ABC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{2y+2\sqrt{2}z=0}\end{array}}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
设二面角A-BC₁-E的平面角为θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{11}}{11}$，
∴二面角A-BC₁-E的余弦值为$\frac{{3\sqrt{11}}}{11}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．