Question

【题目】如图，在长方体中， 与平面及平面所成角分别为， ， 分别为与的中点，且.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）根据中位线定理可得MN∥CD，由长方体的性质可得CD⊥平面，从而可得结果；（2）以AB，AD， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式及同角三角函数之间的关系，可得结果.

试题解析：（1）证明：在长方体中，

因为，所以为的中位线，

所以MN∥CD，

又因为CD⊥平面，

所以MN⊥平面．

（2）解：在长方体中，因为CD⊥平面，

所以为与平面所成的角，

即=，

又因为⊥平面，

所以为与平面所成的角，

即，

所以， ， ， =， ，

如图2，分别以AB，AD， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

∴A(0，0，0)，D(0，2，0)， ， ，C(2，2，0)，B(2，0，0)，

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

∴是平面的法向量， .

设平面的法向量为，

由， ，

所以有

∴取z=1，

得平面的一个法向量为.

设二面角的大小为，

则.

∴．

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.