Question

【题目】如图， 是椭圆的右焦点， 是坐标原点， ，过作的垂线交椭圆于， 两点， 的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若直线与上下半椭圆分别交于点、，与轴交于点，且，求的面积取得最大值时直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意列方程组可得， ，椭圆方程为.

(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得的面积为： ，结合二次函数的性质可得的面积取得最大值时直线的方程是.

试题解析：

（1）由题意可得，将代入椭圆方程得，

即有的面积为，即，且，

解得， ，

即椭圆方程为.

（2）设，且，即.

直线： ，代入椭圆方程可得，

设， ，

则， ，

由，可得，

即有，代入韦达定理得，即有，即有，

则的面积为：

，

当，由图示可得，此时， 的面积取得最大值，且为，

故所求直线方程为.