题目内容
【题目】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,函数被称为狄利克雷函数,其中
为实数集,
为有理数集,则关于函数
有如下四个命题:
①;
②函数是偶函数;
③任取一个不为零的有理数对任意的
恒成立;
④存在三个点,使得
为等边三角形.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
根据狄利克雷函数的解析式,对四个命题逐一分析,由此确定真命题的个数.
对于①,当为有理数时,
,
,故①是假命题.
对于②,若,则
;若
,则
,所以,无论
是有理数或者无理数,都有
,也即函数
为偶函数,故②是真命题.
对于③,当为有理数时,
为有理数,满足
;当
为无理数时,
为无理数,满足
,故③是真命题.
对于④,,使三角形
为等边三角形,故④是真命题.
综上所述,真命题的个数是个.
故选:C
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