Question

3．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，棱AA₁=4，M，N分别是A₁B₁，AA₁的中点．
（1）求$\overrightarrow{{A_1}B}$•$\overrightarrow{{C_1}B}$的值；
（2）求直线BN与平面AB₁C所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由CA=CB=2，$AB=2\sqrt{2}$，得AB²=CA²+CB²，即∠ACB=90°，故可以C为原点，分别以CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系C-xyz，
求出坐标，代入数量积公式即可；
（2）先求$\overrightarrow{BN}$的坐标，再求出平面的法向量，利用公式sinθ=cos＜$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{n}$＞求解．

解答 解：（1）由CA=CB=2，$AB=2\sqrt{2}$，得AB²=CA²+CB²，即∠ACB=90°
∴以C为原点，分别以CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系C-xyz，

则A₁（2，0，4），B（0，2，0），故$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，2，-4），
由C₁（0，0，4），得$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，2，-4），
∴故$\overrightarrow{{A}_{1}B}$•$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=20，
（2）∵N（2，0，2），∴$\overrightarrow{BN}=（2\;，-2\;，2）$，
$\overrightarrow{CA}=（2\;，0\;，0）$，$\overrightarrow{C{B_1}}=（0\;，2\;，4）$，
设平面AB₁C的法向量$\overrightarrow n=（x\;，y\;，z）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{CA}=2x=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{C{B_1}}=2y+4z=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2z}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow n=（0\;，-2\;，1）$．
设直线BN与平面AB₁C所成的角为θ，
∴$sinθ=cos＜\overrightarrow{BN}，\overrightarrow n＞=\frac{0+4+2}{{2\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
故直线BN与平面AB₁C所成的角的正弦值是$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题主要考查利用空间坐标系求解有关立体几何的问题，建对坐标系与确定点的坐标是关键．