题目内容
8．
如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=$\frac{1}{2}$CD=1，M为PB的中点．（1）试在CD上确定一点N，使得MN∥平面PAD；
（2）点N在满足（1）的条件下，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．
分析 （1）CN=$\frac{1}{3}$ND，MN∥平面PAD，过M作ME∥AB交PA于E，连接DE，证明MN∥DE即可；
（2）利用MN∥DE，考的直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角．解△AED即可．
解答 （1）证明：CN=$\frac{1}{3}$ND，MN∥平面PAD．
过M作ME∥AB交PA于E，连接DE．
∵CN=$\frac{1}{3}$ND，
∴CN=$\frac{1}{4}$CD=$\frac{1}{2}$AB=EM．
又EM∥DC∥AB，∴EM∥DN，且EM=DN
∴DEMN为平行四边形，
∴MN∥DE，
又DE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）解：∵MN∥DE
∴直线MN与平面PAB所成角等于直线DE与平面PAB所成角
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，
∵AB⊥AD，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB，
∴∠AED为直线DE与平面PAB所成角．
∵AE=$\frac{1}{2}$，AD=1，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠AED=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直线MN与平面PAB所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
点评 本题考查线面平行，线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定是关键．
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如图，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FA}$．
16．若m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）
| A． | 若m∥α，m?β，α∩β=nα∩β=n则m∥n | |
| B． | 若m⊥α，n⊥α，则m∥n | |
| C． | 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，m∩n=O，m∩n=O，则α∥β | |
| D． | 若α⊥β，m?α，则m⊥β |
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，棱AA1=4，M，N分别是A1B1，AA1的中点．